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线性规划模型

例题1

任务分配问题:某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低?

线性规划模型一般形式

目标函数+约束条件

$$
\min u= c^T x
$$
$$
\text { s.t.}
\left \lbrace \begin{array}{ll}&A x \leq b \\
& x \geq 0
\end{array}
\right.
$$

MATLAB实现

linprog 函数

linprog 是一个线性规划求解器，用于解决线性规划问题。它可以找到一组变量的最优解，使得目标函数达到最小值或最大值，同时满足一组线性约束条件。

模型：

$$
\min z=c^T x \\
s.t. \left \lbrace \begin{array}{ll} A_{ub} x \leq b_{ub} \\
A_{eq} x = b_{eq} \\
x \in bounds
\end{array} \right.
$$

使用方法：
result = linprog(c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds)
result = linprog(c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, lb,ub[,x0])
[result, fval, exitflag, output] = linprog(...)

参数说明：

c: 目标函数的系数向量
A_ub: 不等式约束条件的系数矩阵
b_ub: 不等式约束条件的右侧常数向量
A_eq: 等式约束条件的系数矩阵
b_eq: 等式约束条件的右侧常数向量
bounds: 变量的取值范围
lb,ub: 变量的下界和上界(不和bounds同时使用)
x0: 变量的初始值(可选)
fval: 目标函数的最优值
exitflag: 求解器的退出标志
output: 包含有关求解过程的信息的结构体

返回值：

result: 包含最优解和其他求解信息的对象

注意：当求解条件为最大值时，传入linprog时将目标函数的所有系数取反即可，即

$$
\max z=c^ T x \rightarrow \min z’=(-c)^T x
$$
result = linprog(-c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds)

示例：

% 目标函数系数
c = [-1, -2, -3];  % 求最大值时，目标函数系数取反

% 不等式约束矩阵和向量
A = [1, 1, 0; 0, 1, 1];
b = [1; 1];

% 变量的边界
lb = [0; 0; 0];  % 下界
ub = [inf; inf; inf];  % 上界

% 调用 linprog 函数求解
options = optimoptions('linprog', 'Display', 'none');
[x, fval, exitflag, output] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub, options);

% 输出结果
disp('求解状态:');
disp(output.message);
disp('最优解:');
disp(x);
disp('最优值:');
disp(-fval);  % 由于目标函数系数取反，最优值也需要取反