CS 210: Mathematical Logic Notes
Resolution 归结系统
是一种用于自动定理证明的逻辑推理规则
Normal form 范式
- 合取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）：为了应用归结推理，逻辑公式通常需要转换为合取范式，即多个子句的合取（$\land$）。
- 析取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）：与之相应的，为多个子句的析取（$\lor$）。
Literal 单式/文字
Clause子式/子句
任何Propositional language都可以表示成CNF和DNF
转换成CNF 和DNF 的方法
ps:2.的第三行的最后一个$\land$应该为$\lnot$
主合取/析取范式
主合取范式 (PCNF)
主合取范式是合取范式的一个特例，其中每个合取项（conjunct）都是一个或多个不同的原子公式的合取。换句话说，PCNF 中的每个子句都不包含重复的原子公式或其否定。
例如，逻辑表达式 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)就是一个 PCNF，因为每个子句都是由不同的原子公式 P、Q 和 R 组成的合取。
主析取范式 (PDNF)
主析取范式是析取范式的一个特例，其中每个析取项（disjunct）都是一个或多个不同的原子公式的析取。这意味着 PDNF 中的每个子句都不包含重复的原子公式或其否定。
例如，逻辑表达式 (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) 就是一个 PDNF，因为每个子句都是由不同的原子公式 P、Q 和 R 组成的析取。
主范式的特点
- 无重复：在 PCNF 或 PDNF 中，每个子句都不包含重复的原子公式或其否定。
- 简化：主范式通常用于简化逻辑表达式，使逻辑推理和证明更容易进行。
- 转换：任何逻辑表达式都可以转换为等价的 PCNF 或 PDNF，尽管这种转换可能会增加表达式的复杂性。
Resolution归结/消解原理
Inference rules
- 通过归结原理合并：因为p和$\lnot$p矛盾，所以可以推出$\alpha\lor\beta$
- Unit Resolution
The Resolution Proof Procedure
- 在Resolution系统中证明某命题，我们往往证明它的否命题可以推出矛盾
- 因为消解原理只能应用于析取子式，所以我们首先将表达式转化为合取范式
- 然后将CNF formulas 在$\land$ 处切分，得到clauses
- 反复应用消解原理，直到：
- 找到了空子句，即矛盾（参考Inference rules 第三点）即证明了原命题
- 无法再使用消解原理，那么我们得到结论无法推导出原命题
Example
