Mathematical Logic [Lec03 Propositional Logic]

CS 210: Mathematical Logic Notes

#words argument::论证
#words rigorous::严格的

symbols

Propositional logic(PL)命题语言

PL has tree types of symbols

Expressions 表达式

1. 长度：number of occurrences of symbols
2. 空表达式：长度为0的表达式，denoted by $\lambda$
3. 如果长度和符号的顺序相同，那么两个命题相等
   

Well-formed formulas （WFF）合式公式（正确的表达式）

判断规则：

1.非空 2.括号匹配

The Structure of Formula

1. segment
   
   • proper segment真片段 : non-empty and $v \ne u$
2. initial segment / prefix(前缀)和terminal segment / suffix(后缀)
   
   • proper prefix真前缀 and proper suffix真后缀
     
3. 对于WFF来说
   

Unique Readability Theorem（唯一可读性定理）

是一阶谓词逻辑中的一个定理，它表明每个合式公式（well-formed formula，简称为 wff）都有一个唯一的解析方式，即不论如何组合公式中的符号，最终都只能有一种方式来解释该公式的结构。

Parse Tree 解析树、语法树

对于（不简化的）解析树来说：

1. 根结点是整个表达式
2. 每一个Nodes都是一个WFF
3. 所有的叶子节点（链的最后一个节点）都是一个原子命题
   
   对于简化Parse Tree：
4. 所有的Node都是一个逻辑运算符
5. 所有的leaves都是原子命题
6. 取反符号$\lnot$ 只有一子节点

任何一个WFF表达式都有且仅有一个parse tree

subformula 子公式

Precedence 优先级

对于逻辑运算符，他们的优先级从高到低为
$$\lnot\ ,\ \land\ ,\ \lor\ ,\ \rightarrow\ ,\ \leftrightarrow$$