Mathematical Logic [Lec02 Preliminaries]

CS 210: Mathematical Logic Notes

Preliminaries(预备知识)

set集合
intension:内涵
The intension of a set is its description or defining properties, i.e., what is true about members of a set. (对概念的定义)
extension:外延
The extension of a set is its members or contents. (概念所代表的对象)
$\mathbb{P}$= Prime numbers 质数
外延原理：
The two sets A and B are equal (A = B) if and only if A and B have the same members.

集合中可以重复，且无序。
subset：子集
Proper subset 真子集
Power set 幂集：含有该集合的所有子集
set operations
n-tuples:有序n元组
在数理中，tuple 是一个有限元素且有序的数组集合
- tuple may contain multiple instances of the same element, (1,2,2,3)$\ne$(1,2,3)
- tuple elements are ordered
- tuple has a finite number of elements while a set may not
Binary Relation二元关系
- Intuitively, a binary relation from a set X to a set Y is a set of ordered pairs where x is an element of X and y is an element of Y.
- $A \times B$ denotes the Cartesian product (笛卡尔积) of set A and B: : {⟨x, y⟩ | x ∈ A and y ∈ B} (the set of all ordered pairs where x is in A and y is in B.)
- The statement $⟨x, y⟩ ∈ R$ reads ”x is R-related to y”, and is denoted by $R(x, y)$ or $xRy$.

Equivalence Relation等价关系
- 如果R是一个等价关系，R要满足三个性质：reflexive(自反)、symmetric(对称)、transitive(传递)。
- 比如说“=”关系就是最基本的等价关系
Equivalence Relation等价类
- 对于集合A上的等价关系R，元素x的等价类为$$
  [x]{R} { \gamma \in A | xRy }$$$[x]{R}$ 是集合A中所有等价于x的元素
- Theorem: If R is an equivalence relation over A, then every a ∈ A belongs to exactly one equivalence class.
  如果R是集合A上的一个等价类，那么集合中的每一个元素都属于一个类
- Theorem: Given an equivalence relation on set A, the collection of equivalence classes forms a partition (划分) of set A.
  等价类可以将集合A进行划分

Partial Order relation偏序关系

偏序关系满足三个性质
- reflexive 自反
  - 自反性质的举例 “=”、”≥”、”≤”是自反的，“>”是不自反的
- antisymmetric 反对称的
  - for all x, y ∈ A，if xRy and yRx, then x=y.
- transitive 传递
一个有意思的例子
- The binary relation ”x is divisible by y” on the set of positive integers is a partial order. It has no minimal elements, and 1 is a maximal element.
  这很好的说明偏序关系中的“大小关系”与“数值大小”无关
- 对于上面这个例子，可以联系化学中的“广度量 extensive properties”和“强度量 intensive properties”的概念,偏序关系是一种强度量

Total Order Relation全序关系

全序关系（Total Order Relation），也称为全序或线性序，是数学中的一个概念，用于描述集合中元素之间是否可以完全排序，即对于任意两个元素，我们总是可以确定一个元素是大于还是小于另一个元素。

一个二元关系 R定义在集合 A 上，如果满足以下三个条件，则称 R 是一个全序关系：

自反性（Reflexivity）：对于所有 $a \in A$，有 $a R a$ 。
反对称性（Antisymmetry）：对于所有 $a, b \in A$ ，如果 $a R b$ 且 $b R a$ ，则 $a = b$ 。
可比性（Totality）或连通性（Connectivity）：对于所有 $a \in A$，要么 $a R b$ ，要么 $b R a$ ，或者两者都成立。

全序关系是偏序关系（Partial Order Relation）的一种特殊情况。偏序关系同样要求自反性和反对称性，但只需要满足以下条件：

可比性：对于所有 $a, b \in A$ ，要么 $a R b$ ，要么 $b R a$ ，但不一定两者都必须成立。
这意味着在偏序关系中，可能存在一些元素对 a 和 b 既不是 a R b 也不是 b R a ，这在全序关系中是不可能的。

Inductive Definition (归纳定义)
- 归纳定义通常包含两个主要部分：
1. 基础情况（Base Case）：定义中的一个声明，指定了集合中至少存在一个或一组特定的元素。
2. 归纳步骤（Inductive Step）：定义中的一个声明，说明了如何通过已经定义的元素来生成新的元素。
Proof by Induction (归纳证明)
Recursive Definition (递归定义)
Proof Contradiction (反证法)